Question

例2用高斯消元法解线性方程组4x1-x2-x3-x4=72x1+3x2+x3+x4=-15x1+4？

Answer 1

给定线性方程组为：
4x1 - x2 - x3 - x4 = 7
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = -15
-x1 + 4x2 = 4
首先写成增广矩阵的形式：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 2 3 1 1 | -15 ]
[-1 4 0 0 | 4 ]
利用高斯消元法求解：
1. 将第2行减去第1行的两倍：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 0 5 3 3 | -29 ]
[-1 4 0 0 | 4 ]
2. 将第3行加上第1行：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 0 5 3 3 | -29 ]
[ 3 3 -1 -1 | 11 ]
3. 将第3行加上第2行的两倍：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 0 5 3 3 | -29 ]
[ 0 13 5 5 | -7 ]
4. 将第2行减去第3行的两倍：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 0 -3 -1 -1 | -15 ]
[ 0 13 5 5 | -7 ]
5. 将第1行加上第2行：
[ 4 -1 -1 -1 | 7 ]
[ 0 -3 -1 -1 | -15 ]
[ 0 13 5 5 | -7 ]
[ 4 0 -2 -2 | -8 ]
[ 0 -3 -1 -1 | -15 ]
[ 0 13 5 5 | -7 ]
6. 将第2行除以 -3：
[ 4 0 -2 -2 | -8 ]
[ 0 1 1/3 1/3 | 5 ]
[ 0 13 5 5 | -7 ]
7. 将第3行减去第2行的13倍：
[ 4 0 -2 -2 | -8 ]
[ 0 1 1/3 1/3 | 5 ]
[ 0 0 16/3 16/3 | -72 ]
8. 将第3行除以16/3：
[ 4 0 -2 -2 | -8 ]
[ 0 1 1/3 1/3 | 5 ]
[ 0 0 1 1 | -27 ]
9. 将第2行减去第3行的1/3倍：
[ 4 0 -2 -2 | -8 ]
[ 0 1 0 -2/3 | 29/3 ]
[ 0 0 1 1 | -27 ]
10. 将第1行加上第3行的2倍：
[ 4 0 0 -4 | -42 ]
[ 0 1 0 -2/3 | 29/3 ]
[ 0 0 1 1 | -27 ]
因此，线性方程组的解为：
x1 = -10.5，x2 = 9.67，x3 = -27，x4 = -42