Question

9.设两个随机变量X与Y相互独立,且 XE(1) , YE(4) ,则P(X <Y)=().w 1？

Answer 1

因为X~E(1) , Y~E(4)，所以X>0，Y>0，P{X<Y}在平面直角坐标系的范围如图所示

所以P{X<Y}=∫（0，+∞）dx∫（x，+∞）f（x，y）dy，其中f（x，y）是X，Y的联合概率密度。又因为X，Y独立，所以f（x，y）=f（x）f（y）

所以∫（0，+∞）dx∫（x，+∞）f（x，y）dy=∫（0，+∞）dx∫（x，+∞）f（x）f（y）dy=∫（0，+∞）f（x）dx∫（x，+∞）f（y）dy=∫（0，+∞）e^（-x）dx∫（x，+∞）4e^（-4y）dy=∫（0，+∞）e^（-x）e^（-4x）dx=∫（0，+∞）e^（-5x）dx=-1/5e^（-5x）|（0，+∞）=1/5

所以P{X<Y}=1/5

参考图