Question

初二数学竞赛题（多题）

1、实数a、b、c满足a2+b2 +c2 =10，
代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是？

2、2006 2007 2008 2009这四个数，不能表示为两个整数平方差的数是？

3、老师报出个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到的五位数减去原数，学生甲乙丙丁的结果分别是34567 34056 34956 23456，老师判定四个结果只有一个结果正确，则答对的是？

就这三题，希望能给出一些解题思路。是初二的。
fkdwn的答案完美~全部题目搞定了，会做了就好了。

Answer 1

1. ∵(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2ab+2ac+2bc=10+2ab+2ac+2bc>=0
∴-(2ab+2ac+2bc)<=10
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=20-(2ab+2bc+2ca)
<=20+10
=30
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值是30,当a+b+c=0时取到最大值

2. a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
a+b与a-b奇偶性相同
而
2006＝2×1003奇偶性不同
2007＝3×669奇偶性相同
2008＝2×1004奇偶性相同
2009＝7×287奇偶性相同
故2006不能表示为两个整数平方差

3.设5位数用abcde代替,那么倒排后就是edcba
减原数就是10000e+1000d+100c+10b+a-10000a-1000b-100c-10d-e =9999e+990d-990b-9999a=99*(101e+10d-10b-101a) 此数如果101e+10d-10b-101a≠0,减后的结果就必然是99的倍数

四个答案中只有34056是99的倍数，故答案是34056

Answer 2

1. ∵(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2ab+2ac+2bc=10+2ab+2ac+2bc>=0
∴-(2ab+2ac+2bc)<=10
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=20-(2ab+2bc+2ca)
<=20+10
=30
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值是30,当a+b+c=0时取到最大值
2.2007
偶数的平方被4除余0
奇数的平方被4除余1
因为两数平方能被四除余0或1
偶数的平方加偶数的平方被4除余0
偶数的平方加奇数的平方被4除余1
奇数的平方加奇数的平方被4除余2
平方和被4除余0 1 2
2007被四除余三
3.答案是34056
设原数为abcde，则倒排后数字为edcba，两数相减edcba-abcde，百位数字相同，如果十位数字没有向百位数字借数的话，相减后百位数字应为0，如果借了的话应为9，所以首先排除34567，23456，只剩下34956，34056，因为两数相减得正数，所以e比a大，按照个位数字相减a-e=6推算，e比a大4（这个比较好理解吧），而万位数字e-a=3，证明千位数字相减时及d-b时向万位数字借1，说明b比d大，那么十位数字相减b-d不用向百位借数，所以百位数字应为0，即34056

Answer 3

先帮助你解释第2题吧 答案是2006
对右边数字分解因数来分析
(a^2)-(b^2)=(a-b)(a-b)=m*n
解方程组a+b=m
a-b=n
a=(m+n/2)且为整数
m、n必须同时为奇数或偶数
2006=2×1003或1×2006，不可以
而2007=3×669……
2008=4×502……
2009=1×2009……

Answer 4

1、解：当a,b,c其中任意两个为0的时候，有最大值，为20。
把代数式拆开，可得。
2、2009是质数，所以2009不能。
3、5个数颠倒后，中间的第三位是不变的，所以相减后，第三位数是0，那么就应该是34056

Answer 5

1.abc对应半径10^0.5的球上的一点，代数式相当于求（a,b,c）与（b,c,a）的最大距离的平方。点（b,c,a）相当于把点（a,b,c）沿轴x=y=z转动120度。如果（a,b,c）取球面上离轴x=y=z最远的点，则（a,b,c）与（b,c,a）位于某个大圆上相差1/3圆周的位置。考察这个大圆，半径10^0.5，两点的弦对应圆心角120度，弦长为30^0.5，所以原代数式最大值为30

Answer 6

a-b2
2008 2009
34056 34956 选一