Question

3道简单的微分方程题目

麻烦高手把步骤详细地写出来 我高数很差 谢谢了！
三道题目都是求通解
1.xy'-y-√(y^2-x^2)=0 这个是齐次方程
2.xy'=yIn(y/x) 也是齐次方程
3。y'=e^(2x-y) 这个是可变量微分方程

谢谢！
一楼 你的答案和习题的答案没一个一样的

Answer 1

那可以请给出答案不？积分表达式可能出现表达形式不唯一但是实际相同的情况，还有常数处理
当然也不排除计算错误的可能，在下计算错误频发

1.xy'-y-√(y^2-x^2)=0
dy/dx = y/x +√(y/x)²-1
令u = y/x
则y = xu，dy/dx = y' = u'x+u
则原式转化为：u'x+u = u + √u²-1
du/dx = (√u²-1)/x可分离变量
分离变量得：du/(√u²-1) = dx/x
两边积分ln(u+√u²-1) = ln|cx|
把u = y/x代回得到解 y/x +√((y/x)²-1) = cx

2.xy'=yIn(y/x)
dy/dx = y/x ln(y/x)
令u = y/x
则y = xu，dy/dx = y' = u'x+u
则原式转化为：u'x+u = ulnu
du/dx = (ulnu - u)/x
分离变量得：du/(ulnu - u) = dx/x
两边积分ln(lnu - 1) = ln|cx|
lnu - 1 = cx，lnu = cx + 1
把u = y/x代回lny/x = cx + 1
y = xe^(cx+1）

3.y'=e^(2x-y)
dy/dx = e^2x / e^y
e^y dy = e^2x dx
两边积分e^y = 0.5e^2x + c
y=2x + c

还有这三个都是可分离变量的微分方程，前两个也不是齐次方程，不能因为右边等于0就认为是齐次方程