Question

将含30°角的直角三角形ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°）

将含30°角的直角三角形ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A'B'C，A'C与AB交于点D，过点D作DE//A'B'交CB'于点E，连接BE。易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形。设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S。
（1）当α=30°时，求x的值；
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=1/4S△ABC时，判断⊙E于A'C的位置关系，并求相应的tanα值。

Answer 1

（1）当α=30°时，∠A=∠α=30°D点位置正好在AB中点
∵BC=1，∴AB=2，则x=1；
（2）S(BDE)=1/2BD•BE
BD=2-x，BE=BDtan∠BDE (0<=∠BDE=α<=90°)
S(BDE)=1/2(2-x)^2tanα
∵BC=1，∴AC=√3，过D作DH⊥AC，DH=x/2,AH=√3/2x,则CH=√3-√3/2x
Tanα=DH/HC=x/(2√3-√3x)
∴S(BDE)=1/2•(2-x)^2•x/(2√3-√3x),x∈[0,2)
（3）∵S(BDE=1/4S△ABC=√3/8时，
1/2•(2-x)^2•x/(2√3-√3x)=√3/8, 解得x=3/2
此时，1/2BD•BE=1/4BE=√3/8,BE=√3/2
tanα=x/(2√3-√3x)=(4√3+3)/39
∵BE>BD,∴以点E为圆心，BE为半径作⊙E与A'C相交

Answer 2

（1）当α=30°时，∠A=∠α=30°D点位置正好在AB中点
∵BC=1，∴AB=2，则x=1；
（2）S(BDE)=1/2BD•BE
BD=2-x，BE=BDtan∠BDE (0<=∠BDE=α<=90°)
S(BDE)=1/2(2-x)^2tanα
∵BC=1，∴AC=√3，过D作DH⊥AC，DH=x/2,AH=√3/2x,则CH=√3-√3/2x
Tanα=DH/HC=x/(2√3-√3x)
∴S(BDE)=1/2•(2-x)^2•x/(2√3-√3x),x∈[0,2)
（3）∵S(BDE=1/4S△ABC=√3/8时，
1/2•(2-x)^2•x/(2√3-√3x)=√3/8, 解得x=3/2
此时，1/2BD•BE=1/4BE=√3/8,BE=√3/2
tana=√3x/3（2-x）=√3
a=60度
BDC=90度
∵BE>BD,∴以点E为圆心，BE为半径作⊙E与A'C相交
鸭梨