Question

数列综合难题 晚上来看

已知二次函数f（x)=x^2-ax+2a-4,不等式f（x)《=0的解集有且只有一个元素，难题补充：设数列An的前n项和Sn=f(n),n属于N星
（1）求AN通项公式
(2)bn=an/2^n,求bn的前n项和Tn
(3)在各项不为零的数列{Cn}中，全部满足CmCm+1<0的正整数m的个数称为这个数列{Cn}的变号数，若Cn=1/a-1/an,n属于N星,求数列{Cn}的变号数

Answer 1

不算很难的数列难题，考试时细心些，计算快一些，这种分还是要争取拿到的
楼上有两位解得不错，不过第（2）问分母只差2的次幂的几项，还是合并一下看着更简洁，第（3）问没必要提及什么连续间断或者单调区间，前5项列出来，后面的项根据不等式性质，显然不会变号
俺把3问总结一下：

（1）开口向上的二次函数f(x)仅在一个点上非正，
即判别式△=a^2-4a*(2a-4)=0
解得 a=4
于是 Sn=f(n)=n^2-4n+4=(n-2)^2
于是 An=Sn-S(n-1)=(n-2)^2-(n-3)^2=2n-5

（2）Bn=（2n-5）/2^n
可写出Tn=(-3)/2+(-1)/2^2+......+(2n-7)/2^(n-1)+(2n-5)/2^n
错位相消法：
2Tn=(-3)+(-1)/2+1/2^2+......+(2n-7)/2^(n-2)+(2n-5)/2^(n-1)
Tn=2Tn-Tn=(-3)+2[1/2+1/2^2+......1/2^(n-1)]-(2n-5)/2^n
化简整理得：
Tn=(9-2n-2^n)/2^n

（3）Cn=1/4-1/(2n-5）
列出数列前几项：C1=1/4+1/3>0，C2=1/4+1>0，C3=1/4-1<0,
C4=1/4-1/3<0, C5=1/4-1/5>0
i>5时，Ci>C5>0，不再有变号
于是只有m=2，4时，CmC(m+1)<0，根据定义，{Cn}的变号数为2

Answer 2

1
因为f(x)<=0只有一个元素~~而且f(x)开口向上
所以
△=a^2-4a*(2a-4)=0
a=4
f(x)=x2-4x
Sn=n2-4n
S(n-1)=(n-1)2-4(n-1)=n2-6n+5
对于n>=2,两式相减，得
An=2n-5
当n=1
A1=S1=-3=2*1-5 也符合上式
所以An=2n-5

2
bn=(2n-5)/2^n
Tn=T1+T2+T3+...+Tn=-1/2+1/4+3/8+...+(2n-5)/2^n
2Tn=-1+1/2+3/4+....+(2n-7)/2^(n-2)+(2n-5)/2^(n-1)
Tn=2Tn-Tn=-3+1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n=1-(1/2)^(n-3)-(2n-5)/2^n
Tn=-1-(1/2)^(n-2)-(2n-5)/2^n

3
Cn=1/4-1/(2n-5)
令g(n)=1/4-1/(2n-5)
g'(n)=2/(2n-5)>0
所以Cn随n增大而增大..
又g(n)不是连续函数
所以g(n)应有两个单调区间..
令g(n)=0
得n=9/2
因为n∈N*
且Cn的单调性
m=4时，CmCm+1<0
又当n=5/2时~~函数断开
故m=2时，CmCm+1<0成立

因此令CmCm+1<0的正整数有m=2和m=4时成立

因此变号数为2..

晚上做自己卷子的时候发现忽略了这是不连续函数~~
回来修改一下..

Answer 3

f(x)=(x-a/2+a/2-2)*(x-a/2-a/2+2)≤0→（x-2)*(x+2-a)≤0
①x≥2或x≤a-2（a≤4） 或者 ②x≤2或者x≥a-2(a≥4）
题意只有一个解，可知只有当a=4时，此时解①=解②，此时x=2
f(x)=(x-2)^2
(1)AN=(n-2)^2-(n-3)^2=2n-5
(2)bn=(2n-5)/2^n，b1=-3/2
①n=1时，TN=-3/2
②n≥2时，b(n-1)=(2n-7)/2^(n-1),2*bn=(2n-5)/2^(n-1)
2bn-b(n-1)=1/2^(n-2)=2^(2-n)
2b(n-1)-b(n-2)=2^(3-n)
.
.
.
2*b2-b1=2^0=1
两边相加，2bn+b(n-1)+b(n-2)+...+b3+b2-b1=TN+bn-b1=2^(2-n)+2^(3-n)+...+2^(n-n) [a1=2^(2-n),q=1/2,项数=n-1项]
TN=1-（2n-5)/2^n-2^(3-n)-2^(4-2n) [化简应该没错]
（3）CN=1/4-1/（2n-5) [这里a=4,an=2n-5?你写的不太清楚]
Y=Cm*C(m+1)<0(没错吧）→Y=[1/4-1/(2m-5)]*[1/4-1/(2m-3)]<0
①当m=1时，Y=[1/4+1/3]*[1/4+1/1]>0不符题意
②当m=2时，Y=[1/4+1/1]*[1/4-1/1]<0符合题意
③当m=3时，Y=[1/4-1/1]*[1/4-1/3]>0不符合题意
④当m=4时，Y=[1/4-1/3]*[1/4-1/5]<0符合题意
⑤当m≥5时，2m-3>2m-5>4,1/4-1/(2m-3)>0,1/4-1/(2m-5)>0
Y=[1/4-1/(2m-5)]*[1/4-1/(2m-3)]>0不符合题意
所以正整数的个数是2个，当m=2或4的时候

Answer 4

（1）要想满足题意，△=0。解得a=4

所以原函数为y=x^2-4x+4

所以Sn=n^2-4n+4，Sn+1=n^2-2n+1

An+1=Sn+1-Sn=2n-3=2(n+1)-5

即An=2n-5

（2）已知Bn=(2n-5)/(2^n)

Tn=(-3)/2+(-1)/2+......+(2n-7)/(2^(n-1))+(2n-5)/(2^n)

乘公比错位相减，即2Tn=(-3)+(-1)/2+1/(2^2)+......+(2n-7)/(2^(n-2))+(2n-5)/(2^(n-1))

由2Tn-Tn得 Tn=(-3)+2(1/2+1/2^2+......1/2^n-1)-(2n-5)/2^n

中间一段可以用等比数列求和公式来求和，之后整理为

Tn=-1-1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n

（3）
由题意得Cn=1/4-1/(2n-5),Cn+1=1/4-1/(2n-3)

则CnCn+1=(1/4-1/(2n-5))(1/4-1/(2n-3))<0

整理得

1/16-1/4(2n-5)-1/4(2n-3)+1/(2n-5)(2n-3)<0

要想解此不等式，要去分母(2n-5)(2n-3)，所以要讨论一下(2n-5)(2n-3)的符号

在讨论的时候，(2n-5)(2n-3)可以当成函数来看待。

当(2n-5)(2n-3)>0时，n=2

解原不等式，去分母，整理，最后得4n^2-32n+63>0

解得n>9/2或n<7/2

与n=2去交集，得n=2

当(2n-5)(2n-3)<0时，n=1或n>=3

解原不等式，去分母，整理最后得4n^2-32n+63<0，n=4

取交集，最后n=4

综上,n=2或n=4时符合题意，即Cn变号数为2

Answer 5

检举 1
因为f(x)<=0只有一个元素~~而且f(x)开口向上
所以
△=a^2-4a*(2a-4)=0
a=4
f(x)=x2-4x
Sn=n2-4n
S(n-1)=(n-1)2-4(n-1)=n2-6n+5
对于n>=2,两式相减，得
An=2n-5
当n=1
A1=S1=-3=2*1-5 也符合上式
所以An=2n-5

2
bn=(2n-5)/2^n
Tn=T1+T2+T3+...+Tn=-1/2+1/4+3/8+...+(2n-5)/2^n
2Tn=-1+1/2+3/4+....+(2n-7)/2^(n-2)+(2n-5)/2^(n-1)
Tn=2Tn-Tn=-3+1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n=1-(1/2)^(n-3)-(2n-5)/2^n
Tn=-1-(1/2)^(n-2)-(2n-5)/2^n

3
Cn=1/4-1/(2n-5)
令g(n)=1/4-1/(2n-5)
g'(n)=2/(2n-5)>0
所以Cn随n增大而增大..
又g(n)不是连续函数
所以g(n)应有两个单调区间..
令g(n)=0
得n=9/2
因为n∈N*
且Cn的单调性
m=4时，CmCm+1<0
又当n=5/2时~~函数断开
故m=2时，CmCm+1<0成立

因此令CmCm+1<0的正整数有m=2和m=4时成立

因此变号数为2..

Answer 6

解：此题可以根据面积公式来做

△ABC面积=AC*BC/2=AB*CD/2

AC=B BC=A AB=C CD=H

列式：
b*a/2=c*h/2
ba=ch
b^2a^2=c^2h^2

∵是直角三角形 ∴c^2=a^2+b^2

b^2a^2=(a^2+b^2)h^2

b^2a^2-a^2h^2-b^2h^2=0 同时除以a^2b^2

1=h^2/b^2+h^2/a^2

1/a^2+1/b^2=1/h^2