Question

设函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ>0,│φ│<π/2)的最高点D的坐标为(π/8,2)

设函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ>0,│φ│<π/2)的最高点D的坐标为(π/8,2),由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为 （3π/8，0）。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x属于[-π/4，π/4]时，求函数f(x)的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值；
（3）将函数y=f(x)的图像向右平移π/4个单位，得到函数y=g(x)的图像，求函数y=g(x)的单调区间

Answer 1

（1）由最高点D的坐标为(π/8,2)，可知A=2
∴f(x)=2sin(wx+φ)
∵由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为（3π/8，0）
∴T/4=3π/8-π/8=π/4
∴T=π=2π/w ∴w=2
∴f(x)=2sin(2x+φ) 将(π/8,2)代入右式得
2=2sin(π/4+φ) ∴φ=π/4+2kπ（k∈N）又∵│φ│<π/2
∴φ=π/4
故解析式为f(x)=2sin(2x+π/4)；
（2）由（1）知f（x）的单调增区间为（-3π/8+kπ，π/8+kπ）
单调减区间为[π/8+kπ，5π/8+kπ]（k∈N）
∴当x属于[-π/4，π/4]
①在x∈[-π/4，π/8）时f（x）为增，f（x）min=f（-π/4）=-√2
f（x）max=f（π/8）=2
②在x∈[π/8，π/4]时 f（x）为减，f（x）min=f（π/4）=√2
f（x）max=f（π/8）=2
综上所述，可知最大值为2，对应X=π/8
最小值为-√2，对应X=-π/4
（3）由（1）知f(x)=2sin(2x+π/4)2sin2（x+π/8）
∴g（x）=2sin2（x+π/8-π/4）=2sin2（x-π/8）=2sin（2x-π/4）
由已知当-π/2+2kπ≤2x-π/4＜π/2+2kπ（k∈N）时g（x）为增函数
即-π/8+kπ≤x＜3π/8+kπ，（k∈N）
同理得，当3π/8+kπ≤x＜7π/8+kπ（k∈N）时g（x）为减函数
故，y=g（x）的单调增区间为[-π/8+kπ，3π/8+kπ）
单调减区间为[3π/8+kπ，7π/8+kπ]（k∈N）

OVER！

Answer 2

（1）由最高点D的坐标为(π/8,2)，可知A=2
∴f(x)=2sin(wx+φ)
∵由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为（3π/8，0）
∴T/4=3π/8-π/8=π/4
∴T=π=2π/w
∴w=2
∴f(x)=2sin(2x+φ)
将(π/8,2)代入右式得
2=2sin(π/4+φ)
∴φ=π/4+2kπ（k∈N）又∵│φ│<π/2
∴φ=π/4
故
解析式
为f(x)=2sin(2x+π/4)；
（2）由（1）知f（x）的单调增区间为（-3π/8+kπ，π/8+kπ）
单调减区间为[π/8+kπ，5π/8+kπ]（k∈N）
∴当x属于[-π/4，π/4]
①在x∈[-π/4，π/8）时f（x）为增，f（x）min=f（-π/4）=-√2
f（x）max=f（π/8）=2
②在x∈[π/8，π/4]时
f（x）为减，f（x）min=f（π/4）=√2
f（x）max=f（π/8）=2
综上所述，可知最大值为2，对应X=π/8
最小值为-√2，对应X=-π/4
（3）由（1）知f(x)=2sin(2x+π/4)2sin2（x+π/8）
∴g（x）=2sin2（x+π/8-π/4）=2sin2（x-π/8）=2sin（2x-π/4）
由已知当-π/2+2kπ≤2x-π/4＜π/2+2kπ（k∈N）时g（x）为
增函数
即-π/8+kπ≤x＜3π/8+kπ，（k∈N）
同理得，当3π/8+kπ≤x＜7π/8+kπ（k∈N）时g（x）为
减函数
故，y=g（x）的单调增区间为[-π/8+kπ，3π/8+kπ）
单调减区间为[3π/8+kπ，7π/8+kπ]（k∈N）
OVER！

Answer 3

但由wx+φ=kπ+π/2,得φ=kπ+π/2
,所以φ=-3π/4或π/4(φ|≤π),这句话改为
（π/8）*6+ φ=kπ+π/2得φ=kπ+π/4，所以φ=-3π/4或π/4(φ|≤π)

当φ=-3π/4时，函数f（x）=根号2sin（πx/8-3π/4）把点（2，根号2） 代入不成立
根号2=根号2sin（-π/2）左右不等的，所以这个要删除

Answer 4

T=（3π/8-π/8）×4=π
∴ W=2
∵x=π/8,f(x)=2(最大值）
∴2Asin(2×π/8+φ）=2
∴π/4+φ=2kπ+π/2
∵│φ│<π/2
∴φ=π/4
∴f(x)=2sin(2x+π/4)

简单的写了步骤，A=2我就不给你证了，这个好说
哎，打数学符号好麻烦的......
要休息了，剩下两问明天有时间我就打
还是你直接要答案？