Question

求七年级几何难题！！！快快快

我们老师让我每天出一道数学难题，难题都出遍了，请各位大虾帮帮忙，出几道七年级几何难题，附图(图要有字母，有∠1∠2的在图上要有标注），附答案。我急用，越多越好！谢谢各位
追分标准：2道五分，4道十分，6道以上20分

Answer 1

http://bbs1.people.com.cn/posts/00/32/A3/16/A3318550.JPG 已知：如图： △ ABC中，∠ 1 = ∠ 2， ∠ 3=∠ 4，BF=CE。 求证：AB = AC [B] 分析：比较两个线段的长短，只有三种情况。 如果AB 不等于 AC，那么只有两种情况 ， 要么AB ＞ AC，要么 AB 只要证明以上两钟假设不成立，就可以反证出只能是第三种答案即： 只能是AB = AC。（矛盾法中的排中律，否定之否定） [/B] 证明：做EH // BF，EH = BF，连结FH和HC， 形成 ∠ 5，∠ 6，∠7。有∠ 1 + ∠ 2 =∠ ABC， ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ACB，∠ 4 + ∠ 7 = ∠ ECH， ∠ 5 +∠ 6 =∠ EHC， ▽： 因在△ ECH 中 EH = EC = BF △： 所以 ∠ 5 +∠ 6 = ∠ 4 + ∠ 7 （等腰三角形底角相等） ▽： BFHE 为平行四边形 ；∠ 1 = ∠ 6，HF =EB， （一） 在△ABC中 假设 AB ＞ AC 则有∠ ABC 同时 ∠ 6 = ∠ 1，平行四边形对角相等 就有 ∠ 6 那么 ∠ 7 △：两等量底角 减去 大角 等于 小角 两等量底角 减去 小角 等于 大角 在△HEC中， FH 那么， BE 在两个△BCE和 △BCF 中比较， ▽ ：因为两个量相等情况下（BC = CB，BF = CE） △ ：由 BE △： 所以 ∠ABC ＞ ∠ACB （倍角等量关系） △： 因此：AB 因此： 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AB ＞ AC命题自相矛盾， 因此 ：上述第(一)项假设条件,不能成立！ （二）在△ABC中第二种情况下 假设AB 同理可证；得到：AB ＞ AC 此 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AC ＞ AB命题自相矛盾， 因此 上述第(二)项假设条件,亦不能成立！ 因为AB不等于AC情况下，只有以上两种情况，但都不能成立， 所以只有唯一种情况才能够成立， 那就是AB = AC △ 证明到此完毕 ----------------------------------------- 延长△ABC的三条边BC，CA，AB至A’，B’,C’ 三点，使CA’/BC=AB’/CA=BC’/AB，求证: △ABC与△A’B’C’ 有公共重心。 证明: 设D,E分别是BC与C'A'的中点，AD与B'E交于G，连ED并延长交AB于F。 直线EDF截△A'BC'，由梅涅劳斯定理得: (C'E/EA’)*(A'D/DB)*(BF/FC')=1 因为C'E=EA'，所以A’D/DB=C'F/BF (A'D-BD)/BD=(C'F-BF)/BF, 又因BD=CD，故A'C/BD=C'B/BF. 据己知条件: CA'/BC=BC'/AB，故BD/BC=BF/AB=1/2. 所以DF=CA/2,DF‖CA，DE=AB’/2,DE‖AB’. 由此可得:AG/GD==B’G/GE=2/1， 因此G是△ABC与△A’B’C’ 的公共重心。 证毕。 ----------------------------------------- 已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z 证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点. 过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点. 根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN. 过D点做BC上的高交BC于O点. 过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点. 则X=DO,Y=HY,Z=DJ. 因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD 同理可证FP＝2DJ。 又因为FQ=FP,EM=EN. FQ＝2DJ，EN＝2HD。 又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO＝FQ＋EN 又因为 FQ＝2DJ，EN＝2HD。所以DO＝HD＋JD。 因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。 ----------------------------------------- 在梯形ABCD中,AB//CD,AD垂直于AC,AD=AC, DB=DC,AC,BD交于点E，求角BDC的大小. 作BG平行于AC交DC延长线于点G 所以BG=AC,角BGD等于角ACD等于45° 设AD=AC=1，则DC=BD=根号2 且BG=1 由正弦定理 BD边比上角BGD的正弦值等于BG边比上角BDG的正弦值 设角BDG=角a 即根号2 比上sin45°= 1 比上 sina 求得sina等于二分之一 所以角BDG等于30° . ----------------------------------------- 如图： 1 在△ABC中，D为BC的中点，DE垂直于DF，试判断BF+CF与EF的大小关系，并试图证明结论。 2 △ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90度,D为AC中点,联结BD作∠ADF=∠CDB,连CF交BD于E。求证BD垂直于CF 问题补充：图反了 第一题解法如下： BE+CF>EF 延长ED，使DG=DE，连接CG、FG 易得三角形DEB全等于三角形GCD 所以BE=CG 因为DE=DG，DF=DF，角EFD=角FDG=90度 所以FG=EF 因为CF+DG>FG（两边之和大于第三边） GF=BE，FG=EF 所以BE+CF>EF 第二题解法如下： 以点C为远点，CB为Y轴，CA为X轴建立平面直角坐标系。 假设CA=CB=6，可得D（3，0）；B（0，6） --求得直线DB的解析式为f（DB）=-2x+6； 过点F作FG垂直AC， 由于∠DAF=45,所以AG=FG；又可从△DCB可以相似推出FG=2GD， AD=3，故FG=2,GD=1, 所以F（4，2）；D（3，0） --求得直线FD的解析式为f(FD)=x/2; 由于两条解析式的k值相乘等于-1，所以可以证明BD⊥CF。 ----------------------------------------- ----------------------------------------- 图片

Answer 2

⒈如图一,在锐角△ABC中,CD垂直于AB于点D,E是AB上的一点.找出图中所有的锐角三角形,并说明理由. 图见:

⒉如图二,△ABC中,∠B大与∠C,AD是∠BAC的平分线,说明∠ADB-∠ADC=∠C-∠B成立的理由. 图见:

⒊如图三,已知BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,MN‖BC,AB=12,AC=18,求△AMN的周长. 图见:

⒋如图四,已知△ABC中,AD是BC边上的高线,AE是∠BAC的平分线,若设∠EAD=a,求∠C－∠B.(用a的代数式表示) 图见:

⒌如图五,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,问CE=BD吗?说明理由. 图见:

⒍如图六,由正方形ABCD边BC、CD向外作等边三角形BCE和CDF，连结AE、AF、EF，求证：△AEF为等边三角形。 图见：

第一题： 图一中共有三角形6个，为△ABC,△AEC,△CED,△CBD,△ACD,△ECB 其中△CED,△ACD,△CDB为Rt△ △AEC为钝角△，因为∠AEC=∠ADC+∠ECD=90°+∠ECD>90° △ABC锐角△,已知条件。 ∠CEB = 180°-钝角=锐角 ∠B为锐角， ∠ECB=∠ACB-∠ACE =锐角 △ECB为锐角△ 共有两个锐角△，为△ECB和△ACB 第二题： ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠DAC ∵三角形内角和为180° ∴∠BAD+∠B+∠ADB=∠DAC+∠ADC+∠C ∴∠B+∠ADB=∠ADC+∠C ∴∠ADB-∠ADC=∠C-∠B 第三题 ∵MN‖BC ∴∠MOB=∠OBC ∴∠NOC=∠OCB ∵BO平分∠CBA ∴∠MBO=∠OBC ∵CO平分∠ACB ∴∠NCO=∠OCB ∴∠MOB=∠MBO ∴∠NCO=∠OCB ∵∠MOB=∠MBO ∴BM=OM ∵∠NCO=∠OCB ∴ON=NC ∴AM+MN+NA = (AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC=12+18=30 ∵△AMN的周长 = 30 第四题 ∠C=90°-∠DAC = 90°-[(1/2)∠BAC-a] ∠B=∠AEC-∠BAE = 90°- a-∠BAE = 90°- a-(1/2)∠BAC ∠C－∠B =90°-[(1/2)∠BAC-a]-{90°- a-(1/2)∠BAC} =2a 第六题 ∵正方形ABCD ∴AB=AD=BC=CD ∵△CDF和△BCE为等边△ ∵FD=DC, ∴BE=AB, ∴FD=BE ∵∠ADF=∠ADC+∠FDC=90+60=150 ∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=90+60=150 ∴∠DFA=∠DAF=∠BAE=∠BEA=15 ∴∠ADF=∠ABE ∴△ADF≌△ABE ∴AF=AE ∴△AFE为等腰三角形 ∵∠FAE = ∠DAB-∠DAF-∠EAB =90°-15°-15°=60° ∴△AFE为等边三角形

Answer 3

不怕找不到难题，就怕做不出来，再说初一的没什么几何难题，学的知识太少。

Answer 4

例1.
已知：如图1所示，
中，
。

求证：DE＝DF

分析：
由
是等腰直角三角形可知，
，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得
，
。从而不难发现

证明：
连结CD

说明：
在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证
是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2.
已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

求证：∠E＝∠F

证明：
连结AC

在
和
中，

在
和
中，

说明：
利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：

（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；

（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2
、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3.
如图3所示，设BP、CQ是
的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH∥BC

分析：
由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。

证明：
延长AH交BC于N，延长AK交BC于M

∵BH平分∠ABC

又BH⊥AH

BH＝BH

同理，CA＝CM，AK＝KM

是
的中位线

即KH//BC

说明：
当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4.
已知：如图4所示，AB＝AC，
。

求证：FD⊥ED

证明一：
连结AD

在
和
中，

说明：
有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：
如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM

说明：
证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

3
、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

例5.
已知：如图6所示在
中，
，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：AC＝AE＋CD

分析：
在AC上截取AF＝AE。易知
，
。由
，知
。
，得：

证明：
在AC上截取AF＝AE

又

即

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

例6.
已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，
。

求证：EF＝BE＋DF

分析：
此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。

证明：
延长CB至G，使BG＝DF

在正方形ABCD中，

又

即∠GAE＝∠FAE

4
、中考题：

如图8所示，已知
为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。

求证：EC＝ED

证明：
作DF//AC交BE于F

是正三角形

是正三角形

又AE＝BD

即EF＝AC

题型展示：

证明几何不等式：

例题：已知：如图9所示，
。

求证：

证明一：
延长AC到E，使AE＝AB，连结DE

在
和
中，

证明二：
如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF

则易证

说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

【实战模拟】

1.
已知：如图11所示，
中，
，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有
。求证：

2.
已知：如图12所示，在
中，
，CD是∠C的平分线。

求证：BC＝AC＋AD

3.
已知：如图13所示，过
的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。

求证：MP＝MQ

4.
中，
于D，求证：

【试题答案】

1.
证明：
取CD的中点F，连结AF

又

2.
分析：
本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：
延长CA至E，使CE＝CB，连结ED

在
和
中，

又

3.
证明：
延长PM交CQ于R

又

是
斜边上的中线

4.
取BC中点E，连结AE