Question

定积分在几何中的应用，有个题目看不懂，附图片

图中的图形是绕y轴旋转，那么应该积分变量应该是dy而不是dx啊，这个是怎么来的，看糊涂 了

Answer 1

该解答用的是微元法,即计算出体积微元dV,前面再加积分号即可
与公式pi∫x^2dy无关
也可由y的关系式推出表达式,考虑函数f(x)单调的区间(a,b)
当f(a)≤f(b)
V=pi(b^2-a^2)*f(a)+pi∫(f(a),f(b))[b^2-x^2(y)]dy
=pi(b^2-a^2)*f(a)+b^2*[f(b)-f(a)]-pi∫(f(a),f(b))x^2(y)dy
式中dy=f'(x)dx
则V=pi(b^2-a^2)*f(a)+pi*b^2*[f(b)-f(a)]-pi∫(a,b)x^2*f'(x)dx
=pi*[b^2*f(b)-a^2*f(a)]-pi∫(a,b)x^2*f'(x)dx
=pi*[b^2*f(b)-a^2*f(a)]-pi*x^2*f(x)|(a,b)+2pi∫(a,b)x*f(x)dx
=2pi∫(a,b)x*f(x)dx
f(a)>f(b)时类似
(a,b)内不单调时将区间分为几个函数单调的区间,分别利用上式,
再相加即可(由于被积函数相同,其形式并不改变)