Question

一道数学初二证明题（相似）

在等腰△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=120° ，P为BC的中点。小惠拿着含30°角的透明三角板，使 角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。
（1）如图10(1)，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10(2)情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F。
1)探究1、△BPE 与 △CFP 还相似吗？（只要写出结论）
2)探究2、连接EF， △BPE 与△PFE 是否相似？试说明理由。
3)设EF=m， △EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S。

Answer 1

（1）
由AB=AC，∠BAC=120°
得∠B=∠C=1/2(180°-120°)=30°
由∠B+∠EPB+∠BEP=180°、∠EPF+∠EPB+∠CPF=180°且∠EPF=30°=∠B
得∠BEP=∠CPF
∴△BEP∽△CPF
∴PF/PE=CP/BE
又∵P为BC中点，即CP=BP
∴PF/PE=BP/BE
即PF/BP=PE/BE
在△BPE和△PFE中，∠EPF=∠B，PF/BP=PE/BE
∴△BEP∽△PEF

（2）由（1）知△PFE∽△CPF
得EF/PF=PE/PC
即PE*PF=EF*PC
S=1/2*PE*PF*sin30°=1/4*PE*PF=EF*PC/4
EF=M,PC=AC*根号3/2=4*根号3
所以S=根号3*M

Answer 2

1、角B=角C=30°（因为等腰三角形）
同时，在三角形CPF中，角PFC=180°-30°-角FPC
角FPB=180°-角FPC=角BPE+角EPF=角BPE+30°（三角尺是30°的）
所以角PFC=角EPB,且角B=角C
所以：△BPE∽△CFP
2、相似，理由和第一题一模一样的做法。
剩下的正在想。先去吃个饭，等等补充。