Question

已知函数f(x)=ax^2+blnx在x=1处有极值1/2

求a,b的值
判断函数y=f(x)的单调性并求单调区间

我的思路：第一问算出2a+b=1/2然后不会了……

Answer 1

你第一步就错了

首先求导，f'(x)=2ax+b/x
在x=1处有极值1/2
所以f'(1)=0
f(1)=1/2
有2a+b=0，a=1/2
所以a=1/2,b=-1

f'(x)=x-1/x
f(x)定义域为{x|x>0}
所以x>1时f'(x)>0，0<x<1时f'(x)<0
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增

Answer 2

第一步错了，2a+b是导函数，极值点处导函数值应该是0

所以2a+b=0

因为x=1处,函数值=1/2

所以带入得到a=1/2

从而求出b=-1

所以原函数x^2/2-lnx

导数为x-1/x=(x^2-1)/x

因为定义域x大于0，所以令g(x)=x^2-1

然后就列表，这里不写了

综上，所以原函数在（0，1）递减，在[1，正无穷）递增

Answer 3

易得f(x)定义域为(0,+∞),已知函数在x=1有极值

故对其求导有：f(x)'=2ax+b/x

f(1)'=2a+b=0

又f(1)=1/2=a

解得：a=1/2,b=-1

Answer 4

(1)f(x)'=2ax+b/x
当f'(x)=0时，x=1
｛2a+b=0
a+bln1=0
解得a=1/2 b=-1
(2)由f(x)'=x-1/x 令f(x)＞0 解得x＞1，x＜-1
f(x)＜0，解得-1＜x＜1
∴f(x)在区间（﹣∞，-1）∪（1，﹢∞）上单调递增
f(x)在区间（-1,1）上单调递减