Question

基本不等式（几何平均不等式）的右边必须为常数吗？

基本不等式（几何平均不等式）的右边必须为常数吗？
比方说这道题：函数Y=X^2*√（1-X^2）的最大值为多少？

我的解法是令X=X=√（1-X^2） ，解得X=√2/2

再将 X=√2/2 代入这个几何平均不等式的左边：Y= X*X*√（1-X^2）≥[X+X+√（1-X^2）]
解得Y的最大值为√2/4
但是做错了，为什么？！
我不需要你告诉我正确做法怎么做，我只需要你告诉我我的做法哪里做错了，另外基本不等式（几何平均不等式）的右边必须为常数吗？
谢谢啦~

Answer 1

这里提供几点建议：
用基本不等式解题一般只有以下几种类型：
1.积是常数，和有最小值。
2.和是常数，积有最大值。

这两句话的意思是，对于基本不等式a+b>=2√(ab)来说，如果ab是常数，那么和a+b有最小值2√(ab)，也即上面的1，而基本不等式有如下变形：ab<=[(a+b)/2]^2，如果a+b是常数，那么ab有最大值[(a+b)/2]^2。即只有这两种题目类型。

楼主只需判断是以上两种类型中的哪一类就可以选择正确的方法解题。

对于楼主提出的问题，你的做法我深感不理解。因为均值不等式等号成立与否是在得到最值之后才确定的，也即先得到最值，然后判断是否能取到，而楼主的做法刚好反过来了，我告诫楼主一句，题目是不可以这么做的，如果楼主不改变，到后来必然会犯很多错误。

好了废话不说了，我们先从正确的解法出发，再说为什么你的解法错误：
正解是这样的：
解：
y=x^2*√(1-x^2),此题要求出最大值，必须找出哪个和是常数，显然发现x^2+√(1-x^2)，显然不是常数。但是x^2+(1-x^2)是常数。本题就难在根号上，若能去掉根号则容易解决。
想到这里不难先到尝试求y^2的最大值。也即y^2=x^4(1-x^2)，而这里问题又来了，x^4+(1-x^2)并不是常数。但是我们也不难想到将x^4拆成x^2*x^2，而x^2+x^2+1-x^2又不是常数了。怎么办呢，不难想到将其除以四，也即将y^2变成：
y^2=(x^2/2)*(x^2/2)*(1-x^2)*4，这样，对于(x^2/2)*(x^2/2)*(1-x^2)来说，和x^2/2+x^2/2+(1-x^2)=1，这样就为常数了。于是根据上面所述的类型2，可知，和为常数，积有最大值，由三元均值不等式：a+b+c>=3*三次根号(abc)变形可得：abc<=[(a+b+c)/3]^3，利用这个不等式有：(x^2/2)*(x^2/2)*(1-x^2)<=[(x^2/2+x^2/2+(1-x^2))/3]^3=1/27，所以y^2<=(1/27)*4
也即y^2<=4/27，所以可知y的最大值为√(4/27)=(2√3)/9

现在才是确定等号成立条件的时候，根据均值不等式等号成立条件可知要使等号成立，则需要x^2/2=x^2/2=1-x^2，也即x/√2=x/√2=√(1-x^2)
解得x=√6/3,而非√2/2

到此可知楼主的错误是很明了了，y取到最大值是在x=√6/3的时候，而不是√2/2的时候，事实上楼主从等号成立条件就是错的，正确的应该是x/√2=x/√2=√(1-x^2)，而不是楼主说的x=x=√(1-x^2)

由此可见，在做题目是不要想当然地认为在哪里取得最值，要在详细分析，找出和与积为常数的时候才能下结论。也就是说在用基本不等式求最值的时候，右边必须为常数！！

希望对你有所帮助。。

Answer 2

这个问题对于初学不等式的同学是很困惑的。我试着说说我的看法。首先基本不等式（几何平均不等式）的右边可以不是常数。如x^2+y^2≥2xy 它对任意实数x,y都是成立的。但是在用不等式求解最值问题时就要注意了，要清楚理解不等式的意义。为了说明你这么做为什么错，我举一个更显然的错误。令z=x^2+y^2 x=1 求z的最小值（显然是1 当y=0时）而x^2+y^2≥2xy =2y 是没有错的。它的意义是y取任何实数值左边代数式的值恒大于等于右边代数式的值，而且当且仅当y=1时，左右值相等。而这个值和左边代数式的最小值没有任何关系。可以在平面直角坐标系中画一张图 z(纵轴）y(横轴） 上面不等式的意义是 函数z=y^2+1的图像始终在z=2y的上方 且切与y=1处 这个点当然不一定是函数z=y^2+1的最低点啦。你上面的做法就是把这样的点作为了取最小值的点了。而当右边是常数时，它就不随自变量改变了，若等号成立条件都能满足，它就是最小值(此时右边是一条与横轴平行的直线）。嗯。。说的还是不太清楚，希望你明白了~~

Answer 3

不需要说的太复杂。
第一：基本不等式成立条件。（正数）（对于负数先转化为正数）
第二：取得等号的条件（即a=b）
第三：右边不一定是常数，只要满足一二，算出什么就是什么。
你看看你的解答能取到等号吗（即最值）

Answer 4

基本不等式等号成立的条件：
1。正-正数
2。定-右边能化简成一定值
3。相等-等号成立的条件符合题设
此题含有等号的不等式放大比较细腻，应放大为一定值才行
你的右边不为一常数
但是没有等号的可以放大的稍微宽一点！
而你的放大就比较大，是不对的，要细腻些！

Answer 5

很多时候是不能看到个东西就让它相等的，要看未知数的定义域还有值域的。