Question

在梯形ABCD中，AB平行CD，角BAD等于90度，以AD为直径的半圆O与BC相切。 求证：(1)

在梯形ABCD中，AB平行CD，角BAD等于90度，以AD为直径的半圆O与BC相切。
求证：(1)OB垂直OC
(2)若AD等于12，角BCD等于60度，圆O1与半圆O外切，并分别与BC，CD相切，求圆O1的面积。

Answer 1

(1)因DC//AB   DA⊥AB   所以AD⊥CD    四边形ABCD内角和为360°

∠DAB+∠ADC+∠BCD+∠ABC=90°+90°+∠BCD+∠ABC=360°      ∠BCD+∠ABC=180°

∠OCB+∠OBC=1/2(∠BCD+∠ABC)=90°     ∠COB=180° -(∠OCB+∠OBC)=180°-90°=90°

所以OB⊥OC

(2)CO=2OE=AD=12  CO1=OC-6-r=6-r   同时CO1=2FO1=2r  则6-r= 2r   r=2 

O1面积=π2^2=4π

Answer 2

证明：
设切点为E
连接OE
则OE⊥BC
∴∠A=∠OEB
∵OAOE，OB=OB
∴△AOB≌△EOB
∴∠ABO=∠EBO
同理可得∠DCO=∠ECO
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=90°
∴∠BOC=90°
∴OB⊥OC

2.因为ad=12
所以od=6
因为角bcd=60度
所以角ocd=30度
所以oc=12
因为oa=oe=6

Answer 3

(1)因DC//AB DA⊥AB 所以AD⊥CD 四边形ABCD内角和为360°
∠DAB+∠ADC+∠BCD+∠ABC=90°+90°+∠BCD+∠ABC=360° ∠BCD+∠ABC=180°
∠OCB+∠OBC=1/2(∠BCD+∠ABC)=90° ∠COB=180° -(∠OCB+∠OBC)=180°-90°=90°
所以OB⊥OC
(2)CO=2OE=AD=12 CO1=OC-6-r=6-r 同时CO1=2FO1=2r 则6-r= 2r r=2
O1面积=π2^2=4π