Question

在梯形ABCD中，AB//CD，角BAD=90度以AD为直径的半圆O与BC相切于F。求证：OB垂直于OC

初中的知识

Answer 1

连接OF, OA=OF=OD
∵BC是圆O的切线, ∴OF⊥BC
又 ∠A=∠D=90º，∴ BO与CO分别是∠ABC与∠BCD的角平分线
∵AB//DC，∠ABC+∠BCD = 180º， ∴ ∠OBC+∠BCO = 90º
∴ ∠BOC = 90º 即证。

Answer 2

证明：
连接OF
∵AB//DC
∴∠A=∠D=90º
∵BC是圆O的切线
∴OF⊥BC
∴∠A=∠OFB=90º
又∵OA=OF=半径，OB=OB
∴Rt⊿OAB≌Rt⊿OFB（HL）
∴∠AOB=∠BOF=½∠AOF
∵∠D=∠OFC=90º
OD=OF，OC=OC
∴Rt⊿ODC≌Rt⊿OFC（HL）
∴∠DOC=∠FOC=½∠DOF
∴∠BOC=∠BOF+∠FOC=½（∠AOF+∠DOF）=90º
∴OB⊥OC