Question

多元微分定义求解答

全增量-线性增量=0不就行了 为什么还要比上两点间的长度呀

Answer 1

多元函数可微的要求是Δz-AΔx-BΔy是比√[(Δx)^2+(Δy)^2]更高阶的无穷小量，而全增量与线性增量只差的极限等于0是保证不了可微的，因为如果A和B（其实就是z=f(x,y)在(x0,y0)点的两个偏导数）在点(x0,y0)的某个邻域内是有界的，则一定有lim(AΔx+BΔy)=0（根据无穷小与有界量的乘积为无穷小），于是你说的条件就变为lim(Δz-AΔx-BΔy)=limΔz=0，而这是函数z=f(x,y)在(x0,y0)点连续的定义。现在问题转化为，函数在(x0,y0)点连续，并且偏导数在该点的某邻域内有界，能不能推出函数在该点可微？答案是不能，例如函数f(x,y)=xy/√(x^2+y^2) (x,y)≠(0,0)
=0 (x,y)=(0,0)
你可以自己证明一下，这个函数原点连续，偏导数有界，但是不可微。