Question

数学极限问题

麻烦讲一下过程，谢谢

Answer 1

求极限：(1)。x→∞limarcsin[√(x²+x)-x]
解：原式=x→∞limarcsin{x/[√(x²+x)+x]}=x→∞limarcsin{1/[√(1+1/x)+1/x]}=arcsin1=π/2
(2)。x→0lim[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
解：原式=x→0lim(tanx-sinx)/{[√(1+tanx)+√(1+sinx)]x[√(1+sin²x)-1]}
【分子分母同乘以[√(1+tanx)+√(1+sinx)][√(1+sin²x)+1]】
=x→0lim(tanx-sinx)[√(1+sin²x)+1]/{[√(1+tanx)+√(1+sinx)](xsin²x)}
【tanx-sinx=sinx[(1-cosx)/cosx]，并约去sinx，再把cosx写到分母上】
=x→0lim(1-cosx)[√(1+sin²x)+1]/{[√(1+tanx)+√(1+sinx)](xsinxcosx)}
【作等价替换：sinx≈x，tanx≈x】
=x→0lim(1-cosx)[√(1+x²)+1]/[2√(1+x)](x²cosx)]
【1-cosx=2sin²(x/2)】
=x→0lim[2sin²(x/2)][√(1+x²)+1]/[2√(1+x)](x²cosx)]
【 再作等价替换：sin(x/2)≈x/2，sin²(x/2)≈x²/4】
=x→0lim[(x²/2)][√(1+x²)+1]/[2√(1+x)](x²cosx)]
【约去x²】
=x→0lim[(1/2)][√(1+x²)+1]/[2√(1+x)](cosx)]
=1/2

Answer 2

第二题，可以先上下同时乘以√(1+tanx)+√(1+sinx)，分子变成tanx-sinx，可以写成tanx(1-cos),等价无穷小可以换成，tanx*1/2x²。分母整理是2x(√(1+sin²x)-1)，分子tanx和分母x可以约去。上下在同时乘以√(1+sin²x)+1，这是分母变成x²，分子变成2sin²x。洛必达法则上下同时求导，最后得出结果1/2.
直接求导很麻烦，这样的做法希望可以帮助你！

Answer 3

（1）、limx→∞ √(x^2+x)-x
=limx→∞ [(x^2+x)-x^2]/[√(x^2+x)+x]
=limx→∞ 1/[√(1+1/x)+1]
=1/2，
——》原式=arcsin1/2=π/6；
（2）、分子分母有理化后得：
原式=limx→0 (tanx-sinx)/xsin^2x*limx→0[√(1+sin^2x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=limx→0 2(1-cosx)/(xsin2x)*(1+1)/(1+1)
=limx→0 4*sin^(x/2)/x*sin2x (运用等价无穷小替换sinx~x)
=limx→0 4*(x/2)^2/(x*2x)
=limx→0 x^2/2x^2
=1/2。

Answer 4

1)先求(x^2+x)^0.5-x当x趋向无穷大时的情况： = (x^2+x-x^2)/[(x^2+x)^0.5+x]=x/[(x^2+x)^0.5+x]=1/[(1+1/x)^0.5+1]=0.5,取反正弦得30度。
2）将分子分母分别求导可得结果。

追问

第二问除了求导还可以用别的方法吗