Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+3,x属于[1,2],求函数的值域.请详细.

已知函数f(x)=x^2-2ax+3,x属于[1,2],求函数的值域.请详细.

Answer 1

这题明显要分类讨论，根据对称轴的位置讨论。
f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2 ，抛物线开口向上，对称轴 x=a 。
（1）当 a<1 时，函数在 [1，2] 上为增函数，因此值域为 [f(1)，f(2)] ，即 [4-2a，7-4a] ；
（2）当 a>2 时，函数在 [1，2] 上为减函数，因此值域为 [f(2)，f(1)] ，即 [7-4a，4-2a] ；
（3）当 1<=a<3/2 时，函数在 [1，a] 上减，在 [a，2] 上增，对称轴位于区间左半部分，
因此最小值在 x=a 处取，最大值在 x=2 处取，因此值域为 [f(a) ，f(2)] ，即 [3-a^2，7-4a] ；
（4）当 3/2<=a<=2 时，同理可得函数值域为 [f(a)，f(1)] ，即 [3-a^2，4-2a] 。

Answer 2

f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2
1)当a≤1时，函数在[1,2]上单调递增
ymin=f(1)=1-2a+3=4-2a
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
2)当1<a≤1.5时，f(1)<f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
3)当1.5<a≤2时，f(1)>f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a
4)当a>2时，函数在[1,2]上单调递减
ymin=f(2)=4-4a+3=7-4a
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a

Answer 3

直接代入。分别求出两个值，即为值域。[2-2a,8-4a]

Answer 4

对函数f(x)求导找极值f'(x)=2x-2a
=0 x=a 分情况讨论当a属于【1,2] 在x=a处取最值，当a不属于[1,2]，在两端点处取最值