Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作

EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．
（1）求证：AH=HD；
（2）若cos∠C=
4
5
，DF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

切线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

分析：（1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论；
（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF=∠C，