Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4 5 ，DF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC， ∴AB⊥CD， ∴∠C+∠CBE=90°， ∵EG⊥BC， ∴∠C+∠CEG=90°， ∴∠CBE=∠CEG， ∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH， ∴∠CDA=∠DEH， ∴HD=EH， ∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°， ∴AH=EH， ∴AH=HD； （2）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BDF=90°， ∵BF是⊙O的切线， ∴∠DBF=∠C， ∵cos∠C= 4 5 ，DF=9， ∴tan∠DBF= 3 4 ， ∴BD= DF tan∠DBF =12， ∵∠A=∠C， ∴sin∠A= 3 5 ， ∴AB= BD sin∠A =20， ∴⊙O的半径为10．