Question

已知函数f(x)=a的x次方+（x－2）/（x+1）

（x>1)①证明函数f(x)在（－1，＋∞）上为增函数；②用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。过程，谢谢

Answer 1

(1).设g(x)=(x-2)/(x+1)即g(x)=1-3/(x+1),f(x)=a^x+g(x)对任意的x1>x2>-1g(x1)-g(x2)=1-3/(x1+1)-[1-3/(x2+1)]=3/(x2+1)-3/(x1+1)=3[(x1+1)-(x2+1)]/[(x1+1)(x2+1)]=3(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]∵x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0指数函数y=a^x(a>1)在(-1,+∞)上也是增函数∴g(x1)-g(x2)>0,a^(x1)-a^(x2)>0则f(x1)-f(x2)=a^(x1)+g(x1)-[a^(x2)+g(x2)]=a^(x1)-a^(x2)+g(x1)-g(x2)>0即f(x1)>f(x2)由单调函数定义,我们知道:函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.(2).做图像y1=-a^x与y2=1-3/(x+1)由图像可知只有一个根而计算x=0这一点知y1=-1>-2=y2所以这个根比为正数