Question

数学题·········

如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=-1对称，∵点A的坐标为（-3，0）∴点B的坐标为（1，0)（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，
对称轴x=-b/(2a)=-1
解得b=2．将B（1，0）代入y=x^2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=-3．则二次函数的解析式为y=x^2+2x-3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．设P点坐标为（x，x^2+2x-3），∵S△POC=4S△BOC，
1/2*|x|*3=4*1/2*1*3
∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x^2+2x-3=16+8-3=21；当x=-4时，x^2+2x-3=16-8-3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得

−3k+t＝0
t＝−3
解得

k＝−1
t＝−3
即直线AC的解析式为y=-x-3．

延长AD交y轴于E
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x^2+2x-3），
E(0,3(x-1))
△ACD的面积=△ACE面积-△DCE面积
=1/2*3*(3(1-x)-3)-1/2*(-x)*(3(1-x)-3)
=-3/2x^2-9/2x
对称轴x=-3/2时有最大值，满足-3≤x≤0
∴Q=(-3/2,-3/2)