Question

用向量证明直径所对的圆周角是直角

Answer 1

已知⊙o，ab为直径，c为⊙o上任意一点。求证∠acb=90°
分析：要证∠acb=90°，只需证向量ac⊥向量cb，即：向量ac·向量cb=0
证：设向量ao=向量a，向量oc=向量b
则：向量ac=向量a+向量b，向量cb=向量a-向量b
由此可得：向量ac·向量cb=（向量a+向量b）·（向量a-向量b)=向量a的平方-向量b的平方=a向量模的平方-b向量模的平方=0（因为ao，oc都是圆的半径，是相等的）
∴向量ac·向量cb=0
∴∠acb=90°
∴原命题得证。

Answer 2

设圆心为〇，直径为AB，直径所对的点为C，证明AC*BC=0 AC=〇C-〇A，BC=〇C-〇B 因为向量〇A，〇B，〇C的模相等，所以 AC*BC=(〇C-〇A)*(〇C-〇B)=|〇C|^2+〇A*〇B-〇C*(〇A+〇B)=|〇C|^2+|〇A|?柀朆|?杘s180??=0 所以，∠ACB=90??结论得证.

Answer 3

圆O，BA为直径（以下省略向量），令OB＝a，OC＝b。所以AC＝AO＋OC＝a＋b，BC＝BO＋OC＝b－a，AC●BC＝（a＋b）●（a－b）＝b2－a2＝|b|2－|a|2。又|b|＝|a|，所以AC●BC＝0，所以AC垂直于BC

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