Question

已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E：如图，试探究∠E，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由。

Answer 1

答：

延长AD交BC于点F

根据三角形外角定理有：
∠DFC=∠A+∠ABC

∠ADC=∠C+∠DFC

所以：

∠ADC=∠A+∠C+∠ABC

因为：

∠E+∠ADE=∠A+∠ABE

因为：

∠ADE=∠ADC/2

∠ABE=∠ABC/2

所以：

∠E+(∠A+∠C+∠ABC)/2=∠A+∠ABC/2

所以：

∠E+∠A/2+∠C/2=∠A

所以：

∠E+∠C/2=∠A/2

所以：

∠A=∠C+2∠E

Answer 2

∠A+∠C=2×∠E即∠E=1/2(∠A+∠C)
证 因为ED与CB相交，设交点为H；AD与BE相交，设交点为I
所以∠CHE=∠CHD ∠AIB=∠EID
所以∠CDE+∠C=∠E+∠EBC ∠A+∠ABE=∠E+∠EDA
合并以上两式
得∠CDE+∠C+∠A+∠ABE=∠E+∠EBC+∠E+∠EDA-----------①
因为EB、ED分别为

所以∠CDE=∠EDA；∠ABE=∠EBC -----------②
整理①式②式可得∠A+∠C=2×∠E 即∠E=1/2(∠A+∠C)

Answer 3

连接BD，发现∠A+∠B（大）+∠C=∠D（大）
由四边形BEDC得到∠E+∠C+∠B/2=∠D/2
由两个等式小曲∠B，∠D即可。得到
2∠E+∠C=∠A