Question

数学题，x^4+x^3+x^2+x+1=0 的实数根，保留4位小数

Answer 1

该方程可以变化为(x+1)(x^3+1)+x^2=0
(x+1)和(x^3+1)同正负号，而当x=0时，x^4+x^3+x^2+x+1=1>0，所以此方程没有实根，有四个虚跟：
5^(1/2)/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 1/4
5^(1/2)/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 1/4
(2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4 - 1/4
- (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*i)/4 - 5^(1/2)/4 - 1/4

追问

保留4位小数

追答

(x+1)和(x^3+1)同正负号，而当x=0时，x^4+x^3+x^2+x+1=1>0，所以此方程没有实根，有四个虚跟
这个确实无解
先求导，f′（x）=4x³+3x²+2x+1
令导数为0，解4x³+3x²+2x+1=0
∵题目要求最小值，而函数定义域为R∴最小值不会是﹣∞
把方程解得的三个解【包括虚根】带到原函数就知道最小值。
三次方程可以用卡当公式求解：
代数基本定理：任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的
卡当公式:
x³+ax²+bx+c=0
令y=x+a/3则：
(y-a/3)³+a(y-a/3)²+b(y-a/3)+c=y³+py+q=0......①
∴p=b-a²/3,q=c-ab/3+2a³/27
令y=u+v则：
y³=(u+v)³=3uvy+u³+v³
y³-3uvy-(u³+v³)=0
如果在复数内存在U和V使U³+V³=-q,U³V³=-p/3,
那么Y=U+V就是方程①的根，故问题转化为解方程组②③：
u³+v³=-q……②
(uv)³=-p³/27……③
得到：
u³=-q/2+√(q²+p³/27)
v³=-p/2-√(q²/4+p³/27)
∴y1=u+v 或 y2=ωu+ω²v 或 y3=ω²u+ωv
∴x1=-a/3+u+v ; x2=-a/3+ωu+ω²v ; x3=-a/3+ω²u+ωv
【PS：ω=e^(2iπ/3) i为虚数单位】
求采纳