Question

复变函数积分！详细的给分。。。

Answer 1

你好！
显然，这个积分用留数定理来解决是最方便的。
在规定的封闭环路之内，只有z=0一个极点，只需要计算当地的留数值，乘以2（pi）i 就可以了。
对于z=0这个二阶极点，当然可以使用洛朗展开式找出留数，但不如直接套用公式：
res（f，z）=(d/dx(e^(z)/(z^2-9))/(2-1)!
res(f,0)=-1/9
所以积分值是-(2/9)*pi*i
希望对你有帮助！

追问

麻烦再写一下一阶极点和二阶极点求留数的公式，谢谢！

追答

好的，我这里给出n阶极点的留数公式，令n=1,2即可

res（f，z0）=lim (d^(n-1)/dz^(n-1)* M(z0))/(n-1)!
其中M（z）就是原函数去掉极点部分的函数，此题中就是e^(z)/(z^2-9)。另外此题中z0=0，n=2

可能式子不看容易看清，用文字叙述一遍。
1、对M（z）求n-1次导，将z0代入
2、取极限z趋向于z0（当然，此题中可以省略。但对于有些M（z0）分数上下都是0时必须求极限）
3、除以（n-1）！，ok

如有帮助，望采纳！