Question

f(X)是定义在R上的函数，且f(0)=1，并且对任意x,y,总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1), 求f(X)的解析式

答案是这样的：令x=0,y=2x,则有f(x)=f(0)+2x(0+2x+1)=4x²+2x+1
我想知道下面两种解法是怎么错的：

Answer 1

答案和你的第二个解法都是不对的，因为已经令了 x = 0，y 就等于 0，实际上只取了一组特殊值。

你的第一个解法推理没问题，但是把得到的解析式带回原方程就会发现不成立，所以原方程其实是

无解的。如果把原方程改成 f(x+y/2) = f(x) + y(4x+y+1)，就用你的第一个解法，可得到解

f(x) = 4x^2 + 2x + 1