Question

定义在R上的函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，且x>0时，f(x)>1,求证：

（1）f(x)是R上的增函数
（2）函数g(x)=f(x)-1(x∈R)是奇函数
帮帮忙啦

Answer 1

(1)设x1<x2 则x2-x1>0 所以f(x2-x1)>1
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1
所以f(x1)-f(x2)=1-f(x2-x1)<0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)是R上的增函数
(2)令x=y=0得 f(0)=f(0)+f(0)-1 所以f(0)=1
令y=-x得 f(0)=f(x)+f(-x)-1 即1=f(x)+f(-x)-1
所以f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1]
即g(-x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数