Question

已知中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为根号3/2的椭圆过点（根号2，根号2/2）。

设不过原点O的直线l与该椭圆交与P,Q两点，满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列，求三角形OPQ面积取值范围。 跪求详细过程和答案！！

Answer 1

令P(x1,y1),Q(x2,y2).直线PQ方程为:y=kx+m(其中k=(y2-y1)/(x2-x1)) ①代入x^2/4+y^2=1②并整理得: (1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0. ③ 依题意有Δ=16(1+4k^2-m^2)>0. x1+x2=-(8km)/ (1+4k^2). | x2-x1|=√Δ]/(1+4k^2), | y2-y1|=|k( x2-x1)|= |k|√Δ]/(1+4k^2), x1x2=4(m^2-1) /(1+4k^2), y1y2= (kx1+m)( kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2 =4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2) - (8k^2m^2)/ (1+4k^2) + m^2 OP,PQ,OQ斜率成等比数列,则有(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=y1y2/x1x2. ④即k^2=[4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2)-(8k^2m^2)/ (1+4k^2)+m^2]/ [4(m^2-1) /(1+4k^2)] 整理得:k^2=1/4. |PQ|=[√(1+k^2)√Δ]/(1+4k^2)= [4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) ⑤ O到直线PQ的距离d=|m|/(√(1+k^2) ⑥△OPQ面积=|PQ|*d/2=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) *|m|/(√(1+k^2)/2 =2|m|√(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2) =2|m|√(1+1-m^2)/(1+1) =|m|√(2-m^2) ⑦ 显然△OPQ面积在|m|=1时取得最大值1,最小值为0,故取值范围(0,1].