Question

已知关于x的方程x2-2|x|+2=m恰有三个实数根,求m的值

步骤是 x>0,x2-2x+2=m 有4个根；x<0 x2+2x+2=m，有两根，x=0,m=2.有三个根。为什么会有4个根？解释下步骤，看不太懂。

Answer 1

x^2-2|x|+2=m 有三个实根，相当于曲线 y = x^2-2|x|+2 与直线 y = m 有三个交点。

在坐标平面内作抛物线 y = x^2-2x+2 ，然后去掉 y 轴左侧部分，再将右侧部分对称到左侧（保留右侧部分），这样就得到曲线 y = x^2-2|x|+2 ，如图。

由图知 m = 2 。

追问

为什么去掉 y 轴左侧部分，再将右侧部分对称到左侧（保留右侧部分

追答

因为 x>0 时，y =x^2-2|x|+2=x^2-2x+2 ，因此 y 轴右侧部分不变；
x<0 时，y = x^2-2|x|+2=x^2+2x+2 ，注意这个式子与刚才那个 x^2-2x+2 的区别，
原来 x^2-2x+2= (-x)^2+2(-x)+2 ，它与 x^2+2x+2 的区别是：x 的值互为相反数，
所以在 y 轴左侧，图像与 y 轴右侧是关于 y 轴对称的。

追问

那为什么不把两个函数完整画出来？

追答

为了画 y = x^2-2|x|+2 ，只需要 y = x^2-2x+2 的右侧部分和 y = x^2+2x+2 的左侧部分，这两部分合在一起就是 y = x^2-2|x|+2 的完整图像。
如果把 y = x^2-2x^2+2 与 y = x^2+2x+2 的图像完整画出来，就有点乱，弄不清哪个是哪个的图像了（特别是在一个坐标系中）。我给你画的图中，那个虚线部分是要去掉的，实线部分是 y = x^2-2|x|+2 的完整图像。

追问

你的步骤我看懂了。那你能不能看下我的原问题？我想知道那些步骤是怎么来的，谢谢

追答

感觉你那步骤写的不对。应该是
（1）当 m2 时，方程有两个实根。

追问

这些是怎么来的？麻烦你了~

追答

你把那条水平直线 y = m 上下移动移动，就清楚了。方程的根的个数其实就是它们的交点个数。

追问

太谢谢你了~~

Answer 2

方程可变为：
|x|²-2|x|+2-m=0
如果左边能分解为
(|x|-x1)(|x|-x2)=0
x1>0,x2>0
那就有4个根，分别为±x1,±x2
事实上只要满足：
①x1x2=2-m>0
m<2
②
△=2²-4(2-m)>0
4-8+4m>0
4m>4
m>1
所以
1<m<2时方程有4个根。

追问

如果直接用求根公式在x>0的情况下求出x的值，只有2个，没有4个啊，而且也不确定△>0

追答

这儿是|x|
有2个就有4个了。

追问

那按照这样算x<0的情况下，也有4个根？

Answer 3

没有四个跟的情况啊