Question

设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围。需要过程！

Answer 1

a=0 f(x)=2-2x,对于1<x<4,不是都有f[x]>0所以a=0不成立 a不等于0 f(x)=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a) a<0，f(x)开口向下， 对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值 所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾 a>0 i) 对称轴1/a在（1，4）左边,1/a<=1 即，a>=1时候，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)>＝0即a>=3/8 所以a>=1成立 ii) 对称轴1/a在（1，4）右边,1/a>=4 即，a<=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)>＝0即a>=0 所以0<a<=1/4成立 iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1<=1/a<=4 即，1/4<=a<=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a>＝0即a>=1/2 所以1/2<=a<=1成立 综上所述,a的取值范围是(0,1/4]并上[1/2,正无穷)