Question

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E为边AB上一点（点E不与端点A、B重合）,F为BC延

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E为边AB上一点（点E不与端点A、B重合）,F为BC延长线上一点，且AE=CF，联结EF交对角线AC于点G。（1）设AE=x，AG=y,求y关于x的函数解析式及定义域；（2）联结DG，求证：DG⊥EF

Answer 1

做GM⊥AB于M

那么MG∥BF，MG=√2/2AG=√2y/2

BE=AB-AE=1-X，BF=1+X，EM=AM-AE=√2y/2-x

∴△EMG∽△EBF

∴EM/BE=MG/BF

(√2y/2-x)/(1-X)=(√2y/2)/(1+x)

x²+x=√2xy

(0<x<1)

 

2、做FH⊥BC，交AC延长线于H

∵∠FCH=∠ACB=45°，那么△CFH是等腰直角三角形

∴AE=CF=FH

∵∠ABC=∠HFC=90°，那么AE∥FH

∴∠H=∠EAG，∠AEG=∠HFG

∴△AEG≌△FHG(ASA)

∴EG=FG

连接DE、DF

∵AD=DC，AE=CF，∠DAE=∠DCF=9°

∴△ADE≌△CDF(SAS)

∴DE=DF

∵DG=DG，EG=FG，DE=DF

∴△DEG≌△DFG(SSS)

∴∠DGE=∠DGF

∵∠DGE+∠DGF=180°

∴∠DGE=∠DGF=90°

那么DG⊥EF