Question

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD ∥ AE，BD⊥BA， BD=

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD ∥ AE，BD⊥BA， BD= 1 2 AE=2 ，O、M分别为CE、AB的中点．（I）求证：OD ∥ 平面ABC；（II）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

证明：（I）取AC中点F，连接OF、FB． ∵F是AC的中点，O为CE的中点， ∴OF ∥ EA，且OF= 1 2 EA， 又BD ∥ AE，且BD= 1 2 AE， ∴OF ∥ DB，OF=DB， ∴四边形BDOF是平行四边形． ∴OD ∥ FB． 又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC， ∴OD ∥ 面ABC． （II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE． 证明：取EM中点N，连接ON、CM， ∵AC=BC，M为AB中点， ∴CM⊥AB， 又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC， ∴CM⊥面ABDE， ∵N是EM中点，O为CE中点， ∴ON ∥ CM， ∴ON⊥平面ABDE．