Question

已知:r如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.对角线AC、BD相交于点E。且AC⊥BD。（1）求证：CD²=

已知:r如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.对角线AC、BD相交于点E。且AC⊥BD。（1）求证：CD²=BC·AD；（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证： 。

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Answer 1

见解答过程.

试题分析：（1）首先根据已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案； （2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出AG:AD=AB:BD，再利用△ABG∽△DBA，得出BG:AB="AB:BD" ，则AB 2 =BG?BD，进而得出答案． 试题解析：证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠BCD=90°， 又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBD， ∴△ACD∽△DBC， ∴AD CD ="CD" BC ， 即CD2=BC×AD； （2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF， ∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF， ∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA， ∴S△ABG:S△DBA =（ ） 2 =AG 2 : AD 2 ， 而S△ABG:S△DBA="BG:BD" ，∴AG 2 :AD 2 ="BG:BD" ．