Question

如图，抛物线l 1 ：y=-x 2 平移得到抛物线l 2 ，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l 2 的顶点为点B，它的

如图，抛物线l 1 ：y=-x 2 平移得到抛物线l 2 ，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l 2 的顶点为点B，它的对称轴与l 2 相交于点C，设l 1 、l 2 与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：
（1）求l 2 表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。（3）在直线AC上是否存在点P，使得S △POA = S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。（参考公式：抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是x=- ，顶点坐标是（- ， ））。





Answer 1

解：（1）设l 2 的函数解析式为y=-x 2 +bx+c 把（4，0）代入函数解析式，得 解得 ∴y=-x 2 +4x ∵y=-x 2 +4x=-（x-2） 2 +4 ∴l 2 的对称轴是直线x=2，顶点坐标B（2，4）。 （2）当x=2时，y=-x 2 =-4 ∴C点坐标是（2，-4） S=8； （3）存在 设直线AC表示的函数解析式为y=kx+n 把A（4，0），C（2，-4）代入得 ，解得 ∴y=2x-8 设△POA的高为h S △POA = OA·h=2h=4 设点P的坐标为（m，2m-8） ∵S △POA = S，且S=8 ∴S △POA = ×8=4 当点P在x轴上方时，得 × 4（2m-8）=4 解得m=5， ∴2m-8=2 ∴P的坐标为（5，2） 当点P在x轴下方时，得 × 4（8-2m）=4 解得m=3， ∴2m-8=-2 ∴点P的坐标为（3，-2） 综上所述，点P的坐标为（5，-2）或（3，-2）。