Question

（2014?仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE

（2014?仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；

（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC=

OB

BC

=

OB

2OB

=

1

2

，
在直角△CDF中，tanC=

DF

CD

，
∴

DF

CD

=

1

2

，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=

5

，
∴OB=

1

2

BC=

5 +1

2

，
∴⊙O的半径是

5 +1

2

．

Answer 2

1.连接BD
∠FDB=∠FBD=∠DAB=∠ADO，即∠FDB=∠ADO
又∠ADO+∠ODB=90º，于是∠FDB+∠ODB=90º，即：∠FDO=90º
故FD⊥OD，即：DF是⊙O的切线
2.令θ=∠COB, OD=OB=r
易证DF=EF,又DF=FB,则EF=FB=1/2EB=1
在△DFB中运用余弦定理得，
BD²=DF²+BF²-2DF*BF*cos∠DFB
即：BD²=2-2*(-cosθ)=2+2cosθ
在△DFB中运用余弦定理得，
BD²=OD²+OB²-2OD*OB*cosθ
即：BD²=2r²-2r²cosθ
则，2+2cosθ=2r²-2r²cosθ
即：1+cosθ=r²(1-cosθ)
r²=(1+cosθ)/(1-cosθ) (1)
又，在△CBO中可算得，cosθ=1/√5
代入（1）式得，
r²=（1+1/√5）/（1-1/√5）=(√5+1)/(√5-1)=(√5+1)²/4
则，r=(√5+1)/2