Question

如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB垂直BC,以AB为直径AB=BC=1，以AB为半径作半圆O切CD于E，连接OE，并延长交

AD的延长线于F
（1)问：角BOE能否为120度，并简要说明理由。
（2）证明：三角形AOF相似三角形EDF,且相似比为2
（3)求DF的长
好的我会加分

Answer 1

由于网络不好传不了图片给你说下辅助线 连接AC OD OC 延长 FO交CB的延长线于H点
（1） 连接AC因为AB=BC 所以 ∠ACB=45° 因为OE⊥CD（过圆心与切点连接的线必垂直于 切线） AB⊥BC所以∠EOB+∠ECB=180°。 如果∠BOE=120°则∠ECB=30°显然∠ECB是大于45°的 所以不可能。
（2） 因为∠FED=∠OAF=90° ∠EFD公用所以△AOF相似△EDF 易证明△ODA相似于△COB 所以AD=0.5OA=0.25 △ODA全等于△ODE所以DE=AD=0.25 因为0A=0.5 所以
OA/DE=2 及相似比为2
（3） 因为 DE=0.25 CE=1 易证明△EFD相似于△ECH △OFA全等于△0HB 设FD长为X
则 AF=BH=0.25+X CH=1+0.25+X FD/HC=DE/CE=X/(1.25+X)=0.25/1 解之得 X=5/12