Question

设函数f（x）=alnx+x?1x+1，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

设函数f（x）=alnx+x?1x+1，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

f′(x)＝

a

x

+

2

(x+1)2

，
（Ⅰ）当a=0时，f′(x)＝

2

(x+1)2

，f′（1）=

1

2

，f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

1

2

（x-1）．
（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则

a

x

+

2

(x+1)2

＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，则

a

x

+

2

(x+1)2

＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△＝8a+4＝8(a+

1

2

)，对称轴方程x＝?

a+1

a

．
①当a≤-

1

2

时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②当-

1

2

＜a＜0时，此时，对称轴方程x＝?

a+1

a

＞0，
∴g（x）=0的两根均大于零，计算得
当

?(a+1)+ 2a+1

a

＜x＜

?(a+1)? 2a+1

a

时，g（x）＞0；
当0＜x＜

?(a+1)+ 2a+1

a

或x＞

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