已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-2x(1)设h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),
已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-2x(1)设h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;(2)设k∈Z,当x>...
已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-2x(1)设h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;(2)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x-l)<xf (x)+3g′(x)+4恒成立,求k的最大值.
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(1)h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x+2,(x>-1)
所以h′(x)=
?1=
,当-1<x<0时,h′(x)>0;当x>0时,h′(x)<0.
因此,h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
故当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=2.
(2)∵xf(x)+3g′(x)+4=xlnx+3(x-2)+4=xlnx+3x-2,
∴当x>1时,不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4可化为
k<
=
+2,所以不等式转化为k<
+2对任意x>1恒成立.
令p(x)=
+2,则p′(x)=
,令r(x)=x-lnx-2(x>1),则r′(x)=1-
=
>0
所以r(x)在(1,+∞)上单调递增.因为r(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,r(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0,
所以r(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4),
当1<x<x0时,r(x)<0,即p′(x)<0;当x>x0时,r(x)>0,即p′(x)>0.
所以函数p(x)=
+2在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又r(x0)=x0-lnx0-2=0,所以lnx0=x0-2.
所以[p(x)]min=p(x0)=
+2=
+2=
+2=x0+2∈(5,6),
所以k<[p(x)]min=x0+2∈(5,6)
故整数k的最大值是5.
所以h′(x)=
1 |
x+1 |
?x |
x+1 |
因此,h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
故当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=2.
(2)∵xf(x)+3g′(x)+4=xlnx+3(x-2)+4=xlnx+3x-2,
∴当x>1时,不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4可化为
k<
xlnx+3x?2 |
x?1 |
xlnx+x |
x?1 |
xlnx+x |
x?1 |
令p(x)=
xlnx+x |
x?1 |
x?lnx?2 |
(x?1)2 |
1 |
x |
x?1 |
x |
所以r(x)在(1,+∞)上单调递增.因为r(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,r(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0,
所以r(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4),
当1<x<x0时,r(x)<0,即p′(x)<0;当x>x0时,r(x)>0,即p′(x)>0.
所以函数p(x)=
xlnx+x |
x?1 |
所以[p(x)]min=p(x0)=
x0lnx0+x0 |
x0?1 |
x0(lnx0+1) |
x0?1 |
x0(x0?2+1) |
x0?1 |
所以k<[p(x)]min=x0+2∈(5,6)
故整数k的最大值是5.
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