Question

已知函数f（x）=1-x?1ex，g（x）=x-lnx．（1）证明：g（x）≥1；（2）证明：（x-lnx）f（x）＞1-1e2

已知函数f（x）=1-x?1ex，g（x）=x-lnx．（1）证明：g（x）≥1；（2）证明：（x-lnx）f（x）＞1-1e2．

Answer 1

（1）g′(x)＝1?

1

x

=

x?1

x

(x＞0)，
令g′（x）＞0，x＞1；令g′（x）＜0，0＜x＜1．
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=1．
∴g（x）≥1．
（2）f′(x)＝?

ex?(x?1)ex

e2x

=

x?2

ex

，
令f′（x）＞0，x＞2；令f′（x）＜0，0＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
∴f(x)min＝f(2)＝1?

1

e2

，
∴f(x)≥1?

1

e2

．（当且仅当x=2时取等号）
又由（1）可知，g（x）=x-lnx≥1，（当且仅当x=1时取等号）
∴（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．