Question

如图，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点D（2，0）、B（8，0）．直角梯形AOBC在平面直角坐标系

如图，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点D（2，0）、B（8，0）．直角梯形AOBC在平面直角坐标系中，AC∥OB，点C在抛物线对称轴上，连接CD．现有两个动点P、Q分别从点A和点O同时出发，其中点P以每秒1个单位的速度，沿AO向终点O运动；点Q以每秒2个单位的速度沿OB向终点B运动．过点P作PE∥AC交CD于点E．设P、Q两点运动时间为t（秒）．（1）求这条抛物线的解析式．（2）求CD的长，并用含有t的代数式表示DE的长．（3）若点N在x轴下方的抛物线上，当t为何值时，四边形APNQ为平行四边形．（4）当△EDQ为直角三角形时，请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）∵点D（2，0）和B（8，0）在抛物线上，
∴

4a+2b+4＝0 64a+8b+4＝0.

解得

a＝ 1 4 b＝? 5 2

∴这条抛物线的解析式为y＝

1

4

x2?

5

2

x+4．（2分）
（2）作CM⊥DB于点M．由题意得，CM=OA=4，DM=5-2=3．
∴在Rt△CMD中，CD＝

32+42

＝5．（3分）
作EF⊥DB于点F，则△CMD∽△EFD．

DE

5

＝

4?t

4

，
∴DE＝5?

5

4

t．（5分）
（3）若四边形APNQ为平行四边形，则AP=QN．
∴t＝?[

1

4

(2t)2?

5

2

(2t)+4]，
解得t₁=t₂=2．
∴当t=2时，四边形APNQ为平行四边形．（8分）
（4）当∠EQD=90°时，Q与F点重合，
∵△CDM∽△EDF，则

EF

CM

=

DE

CD

，即