Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝ . (1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P为准线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

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Answer 1

（1） ＝1（2）(x－1) 2 ＋(y－2 ) 2 ＝9.

(1)由题意，设椭圆C的标准方程为 ＝1(a>b>0)，则 解得a＝2 ，c＝2.从而b 2 ＝a 2 －c 2 ＝4.所以所求椭圆C的标准方程为 ＝1. (2)(解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0. 线段OF的垂直平分线方程为x＝1.① 因为线段FP的中点为 ，斜率为 ， 所以FP的垂直平分线方程为y－ ＝－ (x－3)，即y＝－ x＋ ＋ .② 联立①②，解得 即圆心M . 因为t>0，所以 ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 ＝ ，即t＝2 时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1，2 )，半径为OM＝3.故所求圆M的方程为(x－1) 2 ＋(y－2 ) 2 ＝9. (解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx＋Ey＝0.将点F、P的坐标代入得 解得 所以圆心M的坐标为 ，即(1， ＋ )．因为t>0，所以 ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 ＝ ，即t＝2 时，圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4 .故所求圆M的方程为x 2 ＋y 2 －2x－4 y＝0.D＝－2，