Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1．（1）求f（x）表

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1．（1）求f（x）表达式；（2）当x∈[-2，k]时，求函数f（x）的最小值；（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=5x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且函数f（x）只有一个零点-1，得

f(0)＝c＝1 ? b 2a ＝?1 f(?1)＝a?b+c＝0

，解得a=1，b=2，c=1．
∴f（x）=（x+1）²；
（2）当x∈[-2，k]时，若-2≤k＜-1，f(x)min＝(k+1)2；
当x≥-1时，f（x）_min=0．
∴f(x)min＝

(k+1)2，?2≤k＜?1 0，k≥?1

；
（3）令g（x）=f（x）-5x-m=x²-3x+1-m，x∈[-1，1]，
则g′（x）=2x-3，
当x∈[-1，1]时g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[-1，1]上为减函数，
g（x）_min=1-3+1-m=-1-m，
由-1-m＞0，得m＜-1．