Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程；（2）求f（x）的单调

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）设h（x）=（a-1）x+3lnx+a．若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知f′(x)＝2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
f'（1）=2+1=3．
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为，切点坐标（1，2）…（3分）
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y-2=3（x-1）
即y=3x-1…（4分）
（a=0漏写，扣1分）
（2）f′(x)＝a+

1

x

＝

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（6分）
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x＝?

1

a

．
在区间(0，?

1

a

)上，f'（x）＞0，在区间(?

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
∴函数f（x）的递增区间为(0，?

1

a

)，递减区间为(?

1

a

，+∞)．…（8分）
（3）∵k（x）=x-2lnx-a
∴k/(x)＝

x?2

x

…（10分）
0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增      …（11分）
要使K（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，
则只需要

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

即

a≤1 a＞2?2ln2 a≤3?3ln2

…（13分）
则 2-2ln2＜a≤3-2ln3…（14分）