Question

（2014?九江三模）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2

（2014?九江三模）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=22．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A-C1CD的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=0，∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2

2

，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²=A₁C²=AC²，
∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，
∵BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D．
（2）连结A₁C₁，
∵AA₁∥C₁C，且AA₁=C₁C，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，
三棱锥A-C₁CD的体积VA-C1CD=VC1-ACD=VA1-ACD=

1

3

S△ACD×A1O=

1

3

×

1

4

?AC?BD?A1O=

1

12

×2

2

×2×

2

=

2

3

．