Question

如图,D﹑E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的棱AA1﹑B1C1的中点,且棱AA1＝8，AB＝4。 (1)求证：A1E∥平面BDC1

﹙2﹚在棱AA1上是否存在一点M，使二面角M-BC1-B1的大小为60°，若存在，求AM的长，若不存在，说明理由。
第一问已证，求解第二问，我有正确答案，对即奖！！！很急，最多等到24日晚上十一点，谢谢！
只要对，你要多少分，我再加！！！题没错，放心做！

Answer 1

详解如下：

答案绝对正确，别忘了加分哦。

Answer 2

（2）证明：连接BC的中点E1和E，则EE1平行于AA1、BB1、CC1，它与BC1交于其中点D1。
在A上任取一点M，AM=x。作MF垂直于EE1于F点，作MG垂直BC1于G点。连接GF。
因为GF为MG在平面BC1B1，即平面BCC1B1上投影，MG垂直BC1，所以GF垂直于BC1，角MGF就是所求的二面角。
很显然，AA1∥平面BCC1B1且A1E垂直于该平面（A1E垂直于B1C1,BB1垂直于平面A1B1C1也就垂直于A1E），所以MF=A1E=2根号3（正三角形A1B1C1任意边上的高，如何求，不解释了吧？）。AM=FE1=x（AM平行于FE1,MF平行于AE1,所以AMFE1是平行四边形）。
在相似直角三角形D1E1B和直角三角形D1GF（二者公共角为FD1G,且角D1E1B=D1GF=直角）中，tanD1BE1=tanD1FG=D1E1/E1B1=4/2=2（这两个角显然是锐角）,
因而cosD1BF1=cosD1FG=1/根号5，则有FG/D1F=FG/(4-FE1)=FG/(4-x)=1/根号5，则FG=(4-x)/根号5
因此在直角三角形MFG中，若tanMGF=2根号3/[(4-x)/根号5]=tan60°=根号3，求得x=4-2根号5<0，这是不可能的（否则M点不在AA1上）。所以M点不存在。

Answer 3

4+2根5. 建立坐标系。 使得 B 为原点，BA为 x轴， BB1为y轴。
于是C1=（2，8，2根3）, 设M点坐标为 (4,x,0). 作MN垂直于BC1，垂足为N.
因N在C1B上，可设其坐标为 （t,4t, 根3 t).
设P=（0，y,0)为BB1上一点，使得 PN垂直NB。

MN垂直于BC1 ==》
(4-t)*1 +(x-4t)*4 + (0-根3 t) 根3 = 0
==> x=5t-1
PN垂直NB==》
(0-t)*1 +(y-4t)*4 + (0-根3 t) 根3 = 0
==> y=5t
在三角形MNP中， 角MNP=60度，利用余玄定理 ==》
MP^2 = MN^2 + NP^2 - MN*NP
其中，将t 代换x,y，利用坐标计算，可得：
MP^2 = 17
MN^2 = 5t^2 -10t + 17
NP^2 = 5t^2,
带入余玄定理方程，利用 x=5t-1 >0,可以解得： t=0， 1+ 2/5 * 根5， 1- 2/5 * 根5.
忽略掉 t=0,因为P与B在t=0 重合。
于是 x = 5t-1 = 4+2根5 或 4-2根5.
但 上面的 x 解都不满足 0<= x <= 8. 所以在AA1上不存在那样的M。

追问

你和老师的方法一样，但我觉得老师在最后一问错了，你对了，可惜只能选一个满意答案，我已是你的粉丝，以后我会单独向你提问，绝对有分，谢谢你！

追答

千万别加我粉丝，我发现自己很喽， 硬没看明白你选的答案中怎么从 A1HE >60度 得到 对所有M，都大于60度的。 本人水平太差，不敢用你这么高水平的粉丝。

Answer 4

我是ヤ吥爱蕞大ヤ，由于万恶的度娘在抽风，不能评论！所以换号解释给你们听听。
因为当M点在A1时二面角M-BC1-B1最小，理由：AE1⊥平面CBB1C1，当M点由A1向A移动过程中，方法如上，假设过M点作平面CBB1C1垂线与点N，再过点N作平面BC1垂线与点O，MN=AE1不变，此时M点由A1向A移动过程，点N移向BC1边，ON＜EH逐渐变小，当M点移动到D点时，ON重合⊥即二面角=90°，再移动就＞90°，tan∠MON=MN/ON＞AE1/EH＞√3，所以由角A1HE >60度 得到：对所有M，都大于60度的。不明白的请继续。