Question

已知函数f（x）=x 2 -4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。（1）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的

已知函数f（x）=x 2 -4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。（1）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x 1 ∈[1，4]，总存在x 2 ∈[1，4]，使 成立，求实数m 的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵函数 的对称轴是x=2， ∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数， 又∵函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，则必有 即 ，解得 故所求实数a的取值范围为 。 （2）当a=0时，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，只需函数 的值域为函数 的值域的子集。  而 ， 的值域为 ， 下面求 的值域。 ①当m=0时，g（x）=5为常数，不符合题意舍去； ②当m＞0时，函数g（x）在 上为增函数，所以g（x）的值域为[5-m，5+2m]， 要使[-1，3] [5-m，5+2m]，需 ，解得m≥6； ③当m＜0时，函数g（x）在[1，4]上为减函数，所以g（x）的值域为[5-m，5+2m]， 要使[-1，3] [5-m，5+2m]，需 ，解得m≤-3； 综上所述，实数的取值范围为m≤-3或m≥6。