Question

已知函数f（x）=（-x 2 +ax+b）e -x ，a∈R（1）若b=-a，求y=f（x）的单调区间；（2）若b=0，且f（x）在

已知函数f（x）=（-x 2 +ax+b）e -x ，a∈R（1）若b=-a，求y=f（x）的单调区间；（2）若b=0，且f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当b=-a时，函数f（x）=（-x 2 +ax-a）e -x ，∴f ′ （x）=[x 2 -（2+a）x+2a]e -x =（x-a）（x-2）e -x ，令f ′ （x）=0，则x=2或a． ①当a=2时，f ′ （x）=（x-2） 2 e -x ≥0，因此f（x）在R上单调递增； ②当a＞2时，如表所示，函数在区间（-∞，2），（a，+∞）上单调递增；在区间（2，a）上单调递减； ③同理：当a＜2时，函数在区间（-∞，a），（2，+∞）上单调递增；在区间（a，2）上单调递减． （2）b=0，f（x）=（-x 2 +ax）e -x ，∴f ′ （x）=[x 2 -（a+2）x+a]e -x ． ∵f（x）在（-1，1）上单调递减，∴f ′ （x）≤0，∴x 2 -（a+2）x+a≤0在（-1，1）上单调递减， ∴ f(-1)≤0 f(1)≤0 ，解得 a≤- 3 2 ． 因此a的取值范围为 (-∞，- 3 2 ] ．