Question

如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则以下结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠A

如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则以下结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，⑤∠AEO=30°其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，
∴AC=2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠BOE=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，∠AEO=30°，故③⑤正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，
∴S_△AOE=S_△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④⑤．
故选：D．