Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1，若对于x1、x2∈（0，+∞

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1，若对于x1、x2∈（0，+∞），都有x1?x2f(x1)?f(x2)＜0（1）求f（1）、f（2）；（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

（1）由f（xy）=f（x）+f（y），
可得：f（1×1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0，
又f(2×

1

2

)＝f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)＝1∴f（2）=-1；
（2）∵f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
∴f（-x）+f（3-x）≥f（4）
∴

?x＞0 3?x＞0 f[(?x)(3?x)]≥f(4)

，
∵x₁、x₂∈（0，+∞）时

x1?x2

f(x1)?f(x2)

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
∴

?x＞0 3?x＞0 (?x)(3?x)≤4

即

x＜0 x＜3 ?1≤x≤4

，
∴-1≤x＜0
∴原不等式的解集为[-1，0）．