如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=2,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)

如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=2,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥... 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=2,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE. 展开
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游客随风ncw
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解答:证明:(1)方法一:取线段PD的中点M,连接FM,AM.
因为F为PC的中点,所以FM∥CD,且FM=
1
2
CD.
因为四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,
所以EA∥CD,且EA=
1
2
CD.
所以FM∥EA,且FM=EA.
所以四边形AEFM为平行四边形.
所以EF∥AM.            …(5分)
又AM?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.  …(2分)
方法二:连接CE并延长交DA的延长线于N,连接PN.
因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,
所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE.
又AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以CE=NE.
又F为PC的中点,所以EF∥NP.…(5分)
又NP?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.              …(2分)
方法三:取CD的中点Q,连接FQ,EQ.
在矩形ABCD中,E为AB的中点,所以AE=DQ,且AE∥DQ.
所以四边形AEQD为平行四边形,所以EQ∥AD.
又AD?平面PAD,EQ?平面PAD,所以EQ∥平面PAD.         …(2分)
因为Q,F分别为CD,CP的中点,所以FQ∥PD.
又PD?平面PAD,FQ?平面PAD,所以FQ∥平面PAD.
又FQ,EQ?平面EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面EQF∥平面PAD.…(3分)
因为EF?平面EQF,所以EF∥平面PAD.      …(2分)
(2)设AC,DE相交于G.
在矩形ABCD中,因为AB=
2
BC,E为AB的中点.所以
DA
AE
=
CD
DA
=
2

又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA.
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°.
由△DGC的内角和为180°,得∠DGC=90°.即DE⊥AC.  …(2分)
因为平面PAC⊥平面ABCD
因为DE?平面ABCD,所以DE⊥平面PAC,…(3分)
又DE?平面PDE,所以平面PAC⊥平面PDE. …(2分)
说明:第一问,方法1和2,下结论时:不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行,一律扣(2分);方法3,直接由线线平行→面面平行,扣(3分);
第二问,不用平面证明DE⊥AC,扣(2分);
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